Erstens
Drei Voraussetzungen, immer dieselben: eigene Willenserklärung, Handeln in fremdem Namen, Vertretungsmacht (§ 164 I 1 BGB). Und bei der Vertretungsmacht eine feste Reihenfolge — erteilte Vollmacht, dann die §§ 170 bis 173 BGB, dann Duldungs-, dann Anscheinsvollmacht. Gesetz vor Richterrecht, und wer diese Reihenfolge im Text sichtbar macht, holt den Aufbaupunkt.
Zweitens
Jede Rechtsscheinhaftung steht auf drei Säulen: Rechtsscheintatbestand, Zurechenbarkeit, Schutzwürdigkeit. Die erste liegt meist offen auf dem Tisch, die dritte ist selten zweifelhaft — gekippt werden die Fälle in der Mitte. Wer die Zurechenbarkeit ausdrücklich prüft, gewinnt genau dort, wo die meisten weiterblättern.
Drittens
Fehlt die Vertretungsmacht, ist der Vertrag nicht nichtig, sondern schwebend unwirksam (§ 177 I BGB), und die Kette läuft weiter: Aufforderung mit Zweiwochenfrist, Widerruf des anderen Teils, Haftung des Vertreters. In § 179 BGB zählt in Absatz 2 die Unkenntnis des Vertreters, in Absatz 3 Satz 1 die Kenntnis oder das Kennenmüssen des anderen Teils — wer das vertauscht, dreht das Ergebnis um.